Rabu, 15 Februari 2012

Pers.Garis Singgung

“Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang melalui sebuah titik di Luar Lingkaran.”
Misalkan titik P(x1,y1) terletak di luar lingkaran L. Banyaknya garis singgung yang dapat di tarik dari titik P(x1,y1) ada 2 buah, yaitu garis singgung PA dan garis singgung PB. Persamaan garis singgung itu dapat ditentukan sebagai berikut :
  1. Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1,y1) bergradien m, maka persamaannya adalah y=mx-mx1+y1.
  2. Substitusikan y ke persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x
  3. Karena garis menyinggung lingkaran L, maka haruslah diskriminan D=0 sehingga diperoleh nilai-nilai m.
  4. Substitusikan nilai m ke persamaan garis y=mx-mx1+y1 sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta.
Contoh soal :
1. Titik (-1,7) => (-1)2 + 72 = 50 > 25, berarti titik (-1,7) terletak di luar lingkaran.
Misalkan garis singgung lingkaran adalah
y -  = m ( x -  )
y - 7 = m(x+1)
     y = mx + m + 7
x2 + y2 = 25
x2 + (mx + m + 7)2 = 25
x2 + m2x2 + 2mx(m+7) + (m+7)2 = 25
(1+m2)x2 + (2m2+14m)x + m2 + 14m + 24 = 0
2. Syarat garis menyinggung lingkaran adlah D = 0, sehingga didapat :
D =  - 4ac = 0
(2m2+14m)2 - 4(1 +m2)(m2 +14m +24) = 0
4m4 + 56m3 +196m2 – 4m2 – 56m -96 – 4m4 – 56m3 – 96m2 =0
96m2 – 56m-96 =0
12m2 – 7m – 12 =0
(3m – 4)(4m +3) = 0
m=  atau m= -
3. Substitusikan nilai m ke y = mx + m + 7
  Diperoleh y = x +  + 7
              3y = 4x + 25 = 0
            3y - 4x - 25 = 0
Dan,  y = - x -  + 7
  4y = 3x – 18 = 0
 4y - 3x + 18 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah
3y - 4x - 25 = 0 dan 4y - 3x + 18 = 0
2. Tentukan persamaan garis singgung x2 + y2 = 1 yang melalui titik ( 2 , 0 )
Jawab :
y -  = m ( x -  )
y – 0 = m(x - 2)
     y = mx – 2m
x2 + y2 = 1
x2 + (mx – 2m)2 = 1
x2 + m2x2 - 2mx(2m) + 4m2 = 1
x2 + m2x2 - 4m2x + 4m2 – 1= 0
(1+m2)x2 - (4m2)x + 4m2 - 1 = 0
                                          a               b               c
D = b2  - 4ac = 0
(4m 2) 2 – 4(1+m2)(4m2-1) = 0
16m 4 – (16m 2 – 4 + 16m 4 - 4m 2) = 0
 16m 4 – 16m 2 + 4 - 16m 4 + 4m 2 = 0
- 12m 2 + 4 = 0
12m 2 = 4
m 2 =
m =
m =
y = mx – 2m
y = m( ) – 2 ( )
y = m -
3y =  m - 2
3y -  m + 2  = 0
9y – 3m + 6 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah
9y – 3m + 6 = 0

Tidak ada komentar:

Posting Komentar